Ortogonalizarea unei baze

Prin intermediul acestei postări o să explic cum se demonstrează că o mulțime este bază, iar apoi o să vă arăt cum se ortogonalizează această bază, prin procedeul Gram - Schmidt.

Vom lua direct un exemplu concret de mulțime cu 3 vectori și ne propunem să arătăm că aceasta este o bază în spațiul R³ , apoi vom ortogonaliza această bază prin procedeul Gram - Schmidt .



Se consideră o mulțime de forma B = {v1, v2, v3}, B = {(0, 1, -1), (3, -2, 3), (0, -1, 2)}. 
Deci, v1 = (0, 1, -1),  v2 = (3, -2, 3) și  v3 = (0, -1, 2).

Să se arate că B este o bază în spațiul R³ (R X R X R), unde R - mulțimea numerelor reale.
Mai întâi arătăm că mulțimea B este un sistem liniar independent (S L I), rezolvând ecuația a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 0, iar ca rezultat al ecuației trebuie să obținem soluția unică a1=0, a2=0 și a3=0.

a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 0

a₁*(0, 1, -1) + a₂*(3, -2, 3) + a₃*(0, -1, 2) = (0, 0, 0)

(0, a₁, -a₁) + (3a₂, -2a₂, 3a₂) + (0, -a₃, 2a₃) = (0, 0, 0)

(3a₂,  a₁ - 2a₂ - a₃ ,  -a₁ + 3a₂ + 2a₃ ) = (0, 0, 0)

Din aceasta egalitate rezultă următoarele ecuații:

- ec. 1)   3a₂ = 0    => a₂ = 0

- ec. 2)   a₁ - 2a₂ - a₃ = 0   => a₁ - 0 - a₃ = 0  => a₁ - a₃ = 0 

- ec. 3)   -a₁ + 3a₂ + 2a₃ = 0  =>  -a₁ + 0  + 2a₃ = 0  =>  -a₁ + 2a₃ = 0

Adunând ecuațiile 2) și 3), se obține  a₃ = 0
Din ecuația 2, rezultă a₁ - a₃ = 0  => a₁ = a₃   =>  a₁ = 0

Deci, am obținut soluția unică: a₁ = 0,  a₂ = 0 și a₃ = 0 , rezultă că B formează un sistem liniar independent.

Din următoarele:
-  B este S.L.I   (sistem liniar independent)
-   dim(R³) = 3  (dimensiunea spațiului R³ (R X R X R) este 3)
-  card(B) = 3  (mulțimea B are 3 elemente)
obținem că mulțimea B este o bază în spațiul R³.



Pentru un alt subiect în legătură cu acesta, despre cum putem scrie un vector ca o combinație liniară de vectori din baza B, accesați următoarea postare:

Reprezentarea unui vector într-o bază 

Ortogonalizarea bazei B

Acum vom trece la parte cea mai importantă, aceea de a ortogonaliza baza B, prin  procedeul Gram - Schmidt.

Pentru cei interesați să afle mai multe despre procedeul Gram - Schmidt vă recomand următoarea pagină:
https://ro.wikipedia.org/wiki/Procedeul_Gram%E2%80%93Schmidt


Pentru aceasta, trebuie să punctez modul în care se efectuează produsul scalar a doi vectori, deoarece avem nevoie de acest calcul pentru ortogonalizarea bazei.

Produsul scalar se calculează în felul următor: se înmulțesc coeficienții corespunzători versorilor, i, j și k, de la primul vector cu cei de la al doilea vector (sau coordonatele primului vector cu cele corespunzătoare de cel de-al doilea vector) și apoi se însumează rezultatele. Produsul scalar a 2 vectori u și v se notează < u, v > , iar rezultatul este un număr.

Fie vectorii: u = a1*i + b1*j + c1*k = (a1, b1, c1)  și  v' = a2*i + b2*j + c2*k = (a2, b2, c2),  unde i, j și k sunt versorii axelor. Produsul scalar este următorul.

< u' , v'> = < a1*i + b1*j + c1*k  ,   a2*i + b2*j + c2*k> = < (a1, b1, c1), (a2, b2, c2) > = a1*a2 + b1*b2 + c1*c2

Vom folosi a doua variantă pentru reprezentarea vectorilor, cea sub formă de coordonate, nu cea cu versorii i, j și k.

Exemplu:  Pentru vectorii u = (2, 5, -3) ,  v = (-1, 3, 4), avem produsul vectorial:
  < u , v > = < (2, 5, -3) , (-1, 3, 4) > = 2*(-1) + 5*3 + (-3)*4 = -2 + 15 - 12 = 1


Baza ortogonalizată va fi de forma B' = {u1, u2, u3}. Elementele acestei mulțimi se determină după cum urmează:

• u1 = v1    

           u1 = (0, 1, -1)

• u2 = v2 - (<v2, u1> / <u1, u1>) * u1

u2 = (3, -2, 3) - (<(3, -2, 3), (0, 1, -1)> / <(0, 1, -1), (0, 1, -1)>) * (0, 1, -1)
u2 = (3, -2, 3) - ( 3*0 + (-2)*1 + 3*(-1) ) / ( 0*0 + 1*1 + (-1)*(-1) ) *  (0, 1, -1)
u2 = (3, -2, 3) - (-5)/2 * (0, 1, -1) = (3, -2, 3) + 5/2 * (0, 1, -1)
u2 =  (3, -2, 3) + (0, 5/2, -5/2) = (3+0, -2+5/2, 3-5/2) = (3, -4/2+5/2, 6/2-5/2)
         u2 = (3, 1/2, 1/2) 

• u3 = v3 - (<v3, u2> / <u2, u2>) * u2 - (<v3, u1> / <u1, u1>) * u1

u3 = (0, -1, 2) - (<(0, -1, 2), (3, 1/2, 1/2)> / <(3, 1/2, 1/2), (3, 1/2, 1/2)>) * (3, 1/2, 1/2) - (<(0, -1, 2), (0, 1, -1)> / <(0, 1, -1), (0, 1, -1)>) * (0, 1, -1)
u3 = (0, -1, 2) - (0 - 1/2 + 2/2) / (9 +1/4 + 1/4) * (3, 1/2, 1/2) - (0 - 1 - 2) / (0 + 1 + 1) * (0, 1, -1)
u3 = (0, -1, 2) - (1/2) / (19/2) * (3, 1/2, 1/2) - (-3) / 2 * (0, 1, -1)
u3 = (0, -1, 2) - 1/19 * (3, 1/2, 1/2) + 3/2 * (0, 1, -1)
u3 = (0, -1, 2) - (3/19, 1/38, 1/38) + (0, 3/2, -3/2)
u3 = (0 - 3/19 + 0,  -1 - 1/38 + 3/2,  2 - 1/38 - 3/2)
u3 = (-3.19,  -38/38 - 1/38 +57/38,  76/38 -1/38 - 57/38)
u3 = (-3/19,  18/38,  18/38)
         u3 = (-3/19,  9/19,  9, 19)

Așadar, baza ortogonalizată este:

B' = { (0, 1, -1),  (3, 1/2, 1/2),  (-3/19, 9/19, 9/19) }

Mai sus, cu roșu avem formulele de calcul, cu negru calculul efectiv, iar cu albastru rezultatele. Nu vă speriați de lungimea calculului, acesta este rezolvat detaliat și s-a întâmplat să fie niște fracții mai urâte, dar în general este vorba doar de operații aritmetice elementare (adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri).