Elemente de geometrie analitică

În această postare veți afla cum se calculează elementele de bază din geometrie, prim metode algebrice și anume: vectorul de poziție, expresia analitică a unui vector, lungimea unui segment, perimetrul și aria unui triunghi, cosinusul unghiului dintre 2 drepte, ecuația dreptei, ecuația planului și volumul tetraedrului.

Toate aceste elemente enumerate mai sus se vor calcula cunoscând coordonatele a 3 puncte în spațiul tridimensional al axelor de coordonate:

A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C).

Avem, de asemenea, punctul de origine al axelor: O(x₀, y₀, z₀), cu x₀=0, y₀=0, z₀=0 și versorii:

pe care îi vom utiliza sub următoarea formă: 

Pentru a nu îngreuna foarte mult scrierea, vom renunța la folosirea indicilor corespunzători și astfel, avem:

x_A=xA, y_A=yA, z_A=zA, 

x_B=xB, y_B=yB, z_B=zB, 

x_C=xC, y_C=yC, z_C=zC.

De asemenea vectorii care apar în formule și exemple îi vom reprezenta sub forma următoare:

Mai precizez reprezentarea operatorilor aritmetici folosiți în ceea ce urmează:

• * reprezintă înmulțirea 
• / reprezintă fracție sau împărțirea 
• ^ reprezintă ridicarea la putere
• sqrt(x) reprezintă radicalul numărului x
• | x | reprezintă modulul numărului x
• <u,v> reprezintă produsul scalar al vectorilor u și v
• u X v  reprezintă produsul vectorial dintre vectorii u și v 

Pentru exemplele de calcul numeric voi folosi următoarele puncte: A(-1, 2, 1), B(2, 1, -1) și C(1, -1, 2), iar originea axelor este O(0, 0, 0).

Vectorul de poziție al unui punct

Fie A(x_A, y_A, z_A) un punct situat în sputiul axelor Oxyz. Vectorul de poziție reprezintă segmentul orientat OA’, unde O reprezintă punctul de origine al axelor de coordonate.

Astfel, avem: 

OA’ = (xA-xO)*i + (yA-yO)*j + (zC-zO)*k = xA*i + yA*j + zA*k

OB’ =  xB*i + yB*j + zB*k

OC’ =  xC*i + yC*j + zC*k

Exemplu:

OA’ =  -1*i + 2*j + 1*k = -i + 2j + k

OB’ =  2*i + 1*j + (-1)*k = 2i + j - k

OC’ =  1*i + (-1)*j + 2*k = i - j + 2k

Expresia analitică a unui vector

Pentru punctele A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C), vectorii corespunzători se exprimă în felul următor:

AB’ = (xB-xA)*i + (yB-yA)*j + (zB-zA)*k

AC’ = (xC-xA)*i + (yC-yA)*j + (zC-zA)*k

BC’ = (xC-xB)*i + (yC-yB)*j + (zC-zB)*k

Exemplu:

AB’ = (2-(-1))*i + (1-2)*j + (-1-1)*k = 3i-j-2k

AC’ = (1-(-1))*i + (-1-2)*j + (2-1)*k = 2i-3j+k

BC’ = (1-2)*i + (-1-1)*j + (2-(-1))*k = -i-2j+3k

Fie vectorul MN. Opusul vectorului MN este NM = -MN și este un vector de același modul, aceeași direcție, dar sens opus.
Astfel avem:

BA’ = -AB’ ,  BA’ = -3i+j+2k

CA’ = -AC’ ,  CA’ = -2i+3j-k

CB’ = -BC’ ,  CB’ = i+2j-3k

Lungimea vectorului sau lungimea segmentului.

Aceasta reprezintă de fapt distanța dintre 2 puncte situate în spațiul axelor. Altfel spus, cât de apropiat sau depărtat este un punct față de celălalt. Se calculează după formula de mai jos, exprimată pentru cele 3 cazuri: distanța dintre A și B, distanța dintre A și C, respectiv distanța dintre B și C.

AB = sqrt( (xB-xA) ^2 + (yB-yA) ^2 + (zB-zA) ^2 )

AC = sqrt( (xC-xA) ^2 + (yC-yA) ^2 + (zC-zA) ^2 )

BC = sqrt( (xC-xB) ^2 + (yC-yB) ^2 + (zC-zB) ^2 )

Exemplu:

AB = sqrt(3^2 + (-1)^2 + (-2)^2) = sqrt(9+1+4) = sqrt(14)

AC = sqrt(2^2 + (-3)^2 + 1^2) = sqrt(4+9+1) = sqrt(14)

BC = sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + 3^2) = sqrt(1+4+9) = sqrt(14)

Perimetrul și aria triungiului ABC

Pentru calcularea perimetrului triunghiului, lucrurile sunt foarte simple. Întrucât perimetrul reprezintă lungimea conturului unei figuri geometrice, pentru un triunghi trebuie doar să facem suma celor 3 laturi ale acestuia. Astfel:

P_ABC = AB + AC + BC ,  unde AB, AC și BC reprezintă lungimile laturilor triunghiului ABC.

Exemplu:

Pentru lungimile laturilor triunghiului ABC, care au fost calculate mai sus, se obține:

P_ABC = sqrt(14) + sqrt(14) + sqrt(14) = 3*sqrt(14)

În ceea ce privește aria triunghiului ABC, calculul este mai greu de efectuat decât în cazul perimetrului. Aria reprezintă jumătate din norma produsului vectorial al vectorilor OA' și OB' și trebuie să folosim produsul vectorial.
Formula este următoarea:

A_ABC = ½ * || OA’  X  OB’ ||

În această formulă au fost introduse 2 noțiuni noi:

- norma unui vector, numită și modulul vectorului, care reprezintă de fapt lungimea vectorului;

- produsul vectorial dintre 2 vectori, ce se calculează cu formula de mai jos, un determinant, care are pe prima linie versorii axelor -  i, j și k, pe a doua linie coeficienții primului vector, iar pe a treia linie coeficienții celuilalt vector. Rezultatul produsului vectorial este tot un vector.

Exemplu:

= i*2*(-1) + j*1*2 + k*(-1)*1 - 2*2*k - 1*1*i - (-1)*(-1)*j = -2i + 2j - k - 4k - i - j = -3i + j - 5k

Deci, OA' X OB' = -3i + j - 5k . 

Rezultă că || OA' X OB' || = sqrt( (-3)^2 + 1^2 + (-5)^2 ) = sqrt( 9 + 1 + 25 ) = sqrt( 35 )

Așadar: A_ABC = 1/2 * || OA’  X  OB’ || = 1/2 * sqrt(35) = sqrt(35) / 2

 

Cosinusul unghiului dintre 2 vectori

Pentru a afla unghiul format de 2 vectori, este suficient să calculăm cosinusul unghiului dintre aceștia cu formulele de mai jos: 

cos A = <BA’ , AC’>/ (||BA’|| * ||AC’||)

cos B = <AB’ , BC’>/ (||AB’|| * ||BC’||)

cos C = <AC’ , CB’>/ (||AC’|| * ||CB’||)

Apare din nou norma vectorilor în formule, însă aceasta reprezintă, așa cum am mai precizat, lungimea vectorului. Mai sus, am calculat deja lungimile pentru vectori AB' , AC' și BC'.

||AB’|| = ||BA’|| = AB

||AC’|| = ||CA’|| = AC

||BC’|| = ||CB’|| = BC

De asemenea, apare un element nou, produsul scalar a 2 vectori. Acesta se calculează în felul următor: se înmulțesc coeficienții corespunzători versorilor, i, j și k, de la primul vector cu cei de la al doilea vector și apoi se însumează rezultatele.

Fie vectorii: u' = a1*i + b1*j + c1*k  și  v' = a2*i + b2*j + c2*k,  unde i, j și k sunt versorii axelor.

< u' , v'> = < a1*i + b1*j + c1*k  ,   a2*i + b2*j + c2*k> = a1*a2 + b1*b2 + c1*c2

Exemplu:  Pentru vectorii u' = 2i + 5j - 2k ,  v' = -i + 3j + 7k, avem produsul vectorial:
  <u' , v'> = < 2i+5j-2k , -i+3j+7k > = 2*(-1) + 5*3 + (-2)*7 = -2 + 15 - 14 = -1

Exemplu:

<BA’ , AC’> = < -3i+j+2k, 2i-3j+k > = -3*2 + 1*(-3) + 2*1 = -6 – 3 + 2 = - 7

<AB’ , BC’> = < 3i-j-2k , -i-2j+3k > = 3*(-1) + (-1)+(-2) + (-2)*3 = -3 + 2 – 6 = - 7

<AC’ , CB’> = < 2i-3j+k, i+2j-3k > = 2*1 + (-3)*2 + 1*(-3) = 2 – 6 – 3 = -7

||AB’|| = ||BA’|| = sqrt(14)

||AC’|| = ||CA’|| = sqrt(14)

||BC’|| = ||CB’|| = sqrt(14)

Astfel:

cos A = <BA’ , AC’>/ (||BA’||*||AC’||) = -7/( sqrt(14) * sqrt(14) ) = -7/14 = -1/2

cos B = <AB’ , BC’>/ (||AB’||*||BC’||) = -7/( sqrt(14) * sqrt(14) ) = -7/14 = -1/2

cos C = <AC’ , CB’>/ (||AC’||*||CB’||) = -7/( sqrt(14) * sqrt(14) ) = -7/14 = -1/2 , 

unde sqrt(14) * sqrt(14) = 14 (Radicalul ridicat la puterea a 2-a dispare).

Volumul tetraedrului format de cele 3 puncte (A, B, C) și originea O a sistemului de coordonate

Pentru calcularea volumului tetraedrului vom folosi următoarea formulă:

V_OABC = 1/6 *| (OA’, OB’, OC’) | = 1/6 * | < OA’, OB’ X OC’ > | , unde (OA’, OB’, OC’) = <OA’, OB’ X OC’> reprezintă produsul mixt al vectorilor de poziție corespunzători punctelor A, B, C. 

Produsul mixt a 3 vectori este egal cu produsul scalar dintre primul vector și vectorul rezultat din efectuarea produsului vectorial ai celorlalți 2 vectori.

Exemplu:

Avem vectorii OA’ = -i + 2j + k,   OB’ = 2i + j – k,   OC’ = i – j + 2k, calculați mai sus și ne dorim să aflăm volumul tetraedrului V_OABC.

Mai întâi calculăm produsul vectorial dintre OB' și OC' .

Acum, calculăm produsul scalar astfel:
< -i+2j+k,  i-5j-3k > = -1*1 + 2*(-5) + 1*(-3) = -1 - 10 - 3 = -14
Deci volumul este: V_OABC = 1/6 * | < OA’, OB’ X OC’ > | = 1/6 * | -14 | = 1/6 * 14 = 14/6 = 7/3

Ecuația dreptei determinată de 2 puncte (a dreptelor AB, AC, BC)

Avem punctele de coordonate, A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C) utilizate și mai sus.

Ecuațiile dreptelor corespunzătoare sunt descrise de formulele de mai jos, unde "/ " reprezintă fracție.

(AB): (x-xA)/(xB-xA) = (y-yA)/(yB-yA) = (z-zA)/(zB-zA)

(AC): (x-xA)/(xC-xA) = (y-yA)/(yC-yA) = (z-zA)/(zC-zA)

(BC): (x-xB)/(xC-xB) = (y-yB)/(yC-yB) = (z-zB)/(zC-zB)

Exemplu:

Pentru aceleași puncte folosite și în exemplele de mai sus , A(-1, 2, 1), B(2, 1, -1) și C(1, -1, 2), avem:

(AB): (x-(-1))/(2-(-1)) = (y-2)/(1-2) = (z-1)/(-1-1)

(AB): (x+1)/3 = (y-2)/(-1) = (z-1)/(-2)

(AC): (x-(-1))/(1-(-1)) = (y-2)/(-1-2) = (z-1)/(2-1)

(AC): (x+1)/2 = (y-2)/(-3) = (z-1)/1

(BC): (x-2)/(1-2) = (y-1)/(-1-1) = (z-(-1))/(2-(-1))

(BC): (x-2)/(-1) = (y-1)/(-2) = (z+1)/3

Observație: în cazul în care numitorul fracției dă valoarea 0 (zero), fracția respectivă nu se mai scrie în egalitate, rămân celelalte 2 fracții. Pentru aceasta luăm dedesubt o altă ecuație în care egalăm numărătorul cu 0.

Exemplu: Pentru ecuația (x-2)/(2-2) = (y-1)/(-2-1) = (z-(-1))/(1-(-1)),  avem 2-2 = 0 și rezultă x-2 = 0 ,  x = 2. Deci ecuația devine:

(y-1)/(-3) = (z+1)/2

x = 2

Ecuația planului determinat de 3 punte (planul ABC)

Formula de calcul este următoarea:

Exemplu:

Pentru punctele A, B și C considerate și în exemplele de mai sus, avem următoarea ecuație a planului : 

(ABC):  (x+1)*(-1)*1 + (y-2)*(-2)*2 + 3*(-3)*(z-1) - 2*(-1)*(z-1) - (-3)*(-2)*(x+1) - 3*(y-2)*1 = 0

(ABC):  -x -1 - 4y + 8 - 9z + 9 + 2z -2 - 6x -6 - 3y + 6 = 0

Deci, ecuația planului este:   (ABC): -7x -7y -7z + 14 = 0

Pentru a completa aceste definiții și exemple ale elementelor de bază din geometria analitică, vă propun să urmăriți și această postare mai veche despre distanța de la un punct la un plan:

http://gabimath.blogspot.ro/2015/01/calcularea-distantei-de-la-un-punct-la.html