Reprezentarea unui vector într-o bază

         Fie B = {v₁ , v₂ , ... , v_n} o bază în mulțimea V. Oricare v din V admite o scriere unică v = a₁v₁ + a₂v₂ +....+ a_nv_n , unde a₁, a₂, ..., a_n  se vor numi coordonatele vectorului v în baza B.

_Exemplu:
        Reprezentarea vectorului v = (1, 1, 1) în baza B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}, B din R³ .

^{Aflăm coordonatele lui v în baza B şi anume a1, a2 și a3.}
a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = v

a₁(1,0,1) + a₂ (0,1,1) + a₃ (1, 1, 0) = (1, 1, 1)

(a₁, 0, a₁) + (0, a₂, a₂) + (a₃, a₃, 0) = (1, 1, 1)

(a₁+a₃, a₂+a₃, a₁+a₂) = (1, 1, 1)

Din aceasta egalitate rezultă următoarele ecuații:

- ec. 1.    a₁ + a₃ = 1

- ec. 2.    a₂ + a₃ = 1

- ec. 3.    a₁ + a₂ = 1

Adunând cele 3 ecuații obținem:
2*(a₁ + a₂ + a₃) = 3

    a₁ + a₂ + a₃ = 3/2 (ecuația 4.)

Din ec. 1. şi 4. => 1+a₂ = 3 =>  a₂ = 3/2-1 = 1/2

Din ec. 2. şi 4. => 1+a1 = 3 =>  a1 = 3/2-1 = 1/2

Din ec. 3. şi 4. => 1+a3 = 3 =>  a3 = 3/2-1 = 1/2

Deci, coordonatele lui v în baza B sunt: a₁=1/2, a₂=1/2 și a₃=1/2 .