Reprezentarea unui vector într-o bază

         Fie B = {v₁ , v₂ , ... , v_n} o bază în mulțimea V. Oricare v din V admite o scriere unică v = a₁v₁ + a₂v₂ +....+ a_nv_n , unde a₁, a₂, ..., a_n  se vor numi coordonatele vectorului v în baza B.

_Exemplu:
        Reprezentarea vectorului v = (1, 1, 1) în baza B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}, B din R³ .

^{Aflăm coordonatele lui v în baza B şi anume a1, a2 și a3.}
a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = v

a₁(1,0,1) + a₂ (0,1,1) + a₃ (1, 1, 0) = (1, 1, 1)

(a₁, 0, a₁) + (0, a₂, a₂) + (a₃, a₃, 0) = (1, 1, 1)

(a₁+a₃, a₂+a₃, a₁+a₂) = (1, 1, 1)

Din aceasta egalitate rezultă următoarele ecuații:

- ec. 1.    a₁ + a₃ = 1

- ec. 2.    a₂ + a₃ = 1

- ec. 3.    a₁ + a₂ = 1

Adunând cele 3 ecuații obținem:
2*(a₁ + a₂ + a₃) = 3

    a₁ + a₂ + a₃ = 3/2 (ecuația 4.)

Din ec. 1. şi 4. => 1+a₂ = 3 =>  a₂ = 3/2-1 = 1/2

Din ec. 2. şi 4. => 1+a1 = 3 =>  a1 = 3/2-1 = 1/2

Din ec. 3. şi 4. => 1+a3 = 3 =>  a3 = 3/2-1 = 1/2

Deci, coordonatele lui v în baza B sunt: a₁=1/2, a₂=1/2 și a₃=1/2 .

Calcularea concentrațiilor chimice

   1. Concentrația procentuală 

         Concentrația procentuală reprezintă masa de substanță, exprimată în grame, dizolvată în 100 grame de soluție .

    Relația de calcul: 

    c=m_d/m_s  *100, 

    unde: c – concentrația procentuală,

     m_d – masa de substanță dizolvată (g)

     m_s – masa de soluție (g)
În cazul unei soluții apoase: m_s = m_d+m_apă 

    2. Concentrația molară 

          Concentrația molară reprezintă numărul de moli de substanță dizolvată într-un litru de soluție.

    Relația de calcul: 
    c_M = υ/ V_s sau c_M = m_d/(M* V_s)
    unde: c_M – concentrația molară
              m_d – masa de substanță dizolvată
              υ – numărul de moli
              V_s – volumul soluției
              M – masa molară

    3. Concentrația normală

         Concentrația normală reprezintă numărul de echivalenți de substanță dizolvată într-un litru de soluție.

   Relații de calcul: 

     c_N = e/ V_s   sau   c_N = m_d/(Eg* V_s)

    unde: c_N – concentrația normală,

              m_d – masa de substanță dizolvată

              e – numărul de echivalenți

              V_s – volumul soluției

              Eg – echivalentul gram

    Eg_acid=M/nr H⁺

    Ex: Eg _H2SO4=98/2=49

     Eg_bază=M/nr. grupări (OH)
    Ex: Eg_Al(OH)3=78/3=26

    Eg_sare=M/(n*v),  
    unde: n – numărul de ioni metalici                                        
              v – valența ionului metalic

    Ex: Eg_Na2SO4=142/2*1=72

    M _Na2SO4=2*A_Na+A_s+4*A_O=46+32+64=142

Mai jos găsiți tabelul periodic al elementelor

http://www.rs.ro/dbimg/product_big/2311-tabelul-periodi.jpg

   

 

Calcularea distanței de la un punct la un plan

             Unul dintre lucrurile mai simple în geometria euclidiană clasică (analitică) este calcularea distanței de la un punct la un plan, iar în continuarea vă voi explica cum se procedează pentru aceasta.

Fie planul π: Ax + By + Cz + D = 0  și  M(x₀, y₀, z₀) - un punct oarecare în spațiul tridimensional al axelor de coordonate. 
Pentru calcularea distanței de la punctul M la planul π aplicăm următoarea  formulă:

d(M,π) = | A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D | / sqrt(A² + B² + C²) ,

unde sqrt reprezintă radicalul de ordin 2 al expresiei dintre paranteze (... ).

Dacă distanța de la punct la plan este: d(M,π) = 0, înseamnă că punctul M se află situat în  planul π.

Exemplu de exercițiu rezolvat:

Fie punctul  A(2, -1, 1) și planul descris de ecuația π: 2x - y + 3z - 5 = 0
Distanța de la punctul A la planul π este:

d(A,π) = | 2*x_A - 1*y_A + 3*z_A - 5 | / sqrt( 2² + (-1)² + 3²) =
= |2*2 - 1*(-1) + 3*1 - 5 | / sqrt(4+1+9)=|4+1+3-5| / sqrt(14) = 3/sqrt(14)